Bilgi

Butterworth Filtre Formülü, Denklemler ve Hesaplamalar

Butterworth Filtre Formülü, Denklemler ve Hesaplamalar


Butterworth filtresi, maksimum düz bant içi yanıt sağlayan popüler bir filtre biçimidir. Bu günlerde değerleri hesaplamanın en yaygın yöntemi bir uygulama veya başka bir bilgisayar yazılımı kullanmak olsa da, bunları daha geleneksel yöntemler kullanarak hesaplamak yine de mümkündür. Bu hesaplamalar için dava edilebilecek formüller veya denklemler vardır ve bu şekilde ödünleşmeleri ve çalışmaları daha kolay anlamak mümkündür.

Butterworth filtresi için denklemleri kullanarak, ihtiyaç duyulan değerleri hesaplamanın yanı sıra frekans tepkisini hesaplamak ve çizmek nispeten kolaydır.

Butterworth filtre frekans yanıtı

Butterworth filtresi maksimum derecede düz olduğundan, bu, sıfır frekansta, güç fonksiyonu için frekansa göre ilk 2n-1 türevlerinin sıfır olacağı şekilde tasarlandığı anlamına gelir.

Böylece Butterworth filtre frekans tepkisi için formül türetmek mümkündür:

|VdışarıViçinde|2=11 +(ffc)2n

Nerede:
f = hesaplamanın yapıldığı sıklık
fc = kesme frekansı, yani yarım güç veya -3dB frekansı
Vin = giriş voltajı
Vout = çıkış voltajı
n = filtredeki eleman sayısı

Denklem, daha olağan biçimini vermek için yeniden yazılabilir. Burada H (jω) transfer fonksiyonudur ve filtrenin kazanımı olmadığı, yani aktif bir filtre olmadığı varsayılır.

|H(jω)|=11+(ωωc)2n

Nerede:
H (jω) = açısal frekansta transfer fonksiyonu ω
ω = açısal frekans ve 2πf'ye eşittir
ωc = açısal bir değer olarak ifade edilen kesme frekansı ve 2πf'ye eşittirc

Not: Ω / ωo veya f / f farketmezc tamamen iki rakamın bir oranı olduğu için kullanılır. 2πf olan ω kullanılırsa, 2 faktörü kesirin hem üstünde hem de altında olduğu için birbirini götürür.

Herhangi bir noktada Butterworth filtresinin kaybını ifade etmek istendiğinde, aşağıdaki Butterworth formülü kullanılabilir. Bu, herhangi bir noktada desibel cinsinden zayıflamayı verir.

Bird =10günlük10(1+(ωωc)2n)

Butterworth filtre hesaplama örneği

Butterworth filtre hesaplamasının cevabının bir örneğini sağlamak için, aşağıda verilen devrenin bir örneğini alın. Bu hesaplamalarda normal olduğu gibi, kesme frekansının 1 radyan, yani 1 / 2Π Hz olduğu, empedansın 1 Ω olduğu ve değerler Farads ve Henries'de verildiği durumlarda normalleştirilmiş değerler kullanılır.

Aşağıdaki örnek, 1Ω empedanslı en basit değerlerden bazılarını ve 2 Farad kondansatörü ve her biri 1 Henry serisi indüktörlerin değerlerini kullanır.


Yukarıdaki formülü kullanarak ve kesme noktasının 0.159Hz olduğu bilgisini kullanarak, çeşitli frekanslarda yanıt değerlerini hesaplamak mümkündür:


Butterworth Filtresinin Yanıtı
Frekans (Hz)Bağıl Güç Çıkışı
0.001.00
0.070.99
0.0950.95
0.1590.50
0.2230.117
0.2540.056
0.3180.015

Butterworth filtre direkleri

Kesme frekansı ωc olan Butterworth alçak geçiren filtrenin kutupları, s-düzleminin orijini üzerinde ortalanmış yarıçaplı ωc bir yarım dairenin çevresi etrafında eşit aralıklarla yerleştirilmiştir.

İki kutuplu bir filtrenin kutupları ± 45 ° 'dir. Dört kutuplu bir filtrede olanlar ± 22,5 ° ve ± 67,5 ° 'dedir. Diğer durumlar da benzer şekilde çıkarılabilir.

Bununla birlikte, aşağıdaki tablo, düşük geçişli Butterworth filtrelerinin kutuplarını bir ila sekiz kutuplu ve kesme frekansı 1 rad / s, yani normalleştirilmiş bir filtre için göstermektedir.


Normalleştirilmiş Butterworth Polinomlarının Kutupları
SiparişPolonyalılar
1−1 ± j 0
2−0.707 ± j 0.707
3−1 ± j 0, −0.5 ± j 0.866
4−0.924 ± j 0.383, −0.383 ± j 0.924
5−1 ± j 0, −0.809 ± j 0.588, −0.309 ± j 0.951
6−0.966 ± j 0.259, −0.707 ± j 0.707, −0.259 ± j 0.966
7−1 ± j 0, −0.901 ± j 0.434, −0.624 ± j 0.782, −0.222 ± j 0.975
8−0.981 ± j 0.195, −0.832 ± j 0.556, −0.556 ± j 0.832, −0.195 ± j 0.981

Bu temel denklemler, RF ve diğer uygulamalara uygun basit bir Butterworth LC filtresi geliştirmek için temel sağlar.


Videoyu izle: Matlab İle Sayısal Filtre Tasarımı ve Uygulaması IIR ve FIR Filtre (Ocak 2022).